সহজেই বের করুন যেকোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা: গণিত ইশকুলের নতুন পাঠ

গণিত ইশকুলের নতুন সিরিজে তোমাদের সবাইকে স্বাগত। ছোটবেলায় আমরা সবাই উৎপাদক নিয়ে কাজ করেছি, কিন্তু বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সব উৎপাদক খুঁজে বের করা বেশ ঝামেলার কাজ। অনেক সময় সব উৎপাদক বের করতে গিয়ে তালগোল পাকিয়ে যায় বা কোনোটি বাদ পড়ে যায়। তবে মজার বিষয় হলো, যেকোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা কত, তা বের করার একটি সহজ গাণিতিক সূত্র রয়েছে। আজ আমরা সেই পদ্ধতিটিই শিখব।

আমরা উদাহরণ হিসেবে ৫৯৮০০ সংখ্যাটিকে বেছে নিই। এই সংখ্যাটির মোট কয়টি উৎপাদক আছে, তা বের করার প্রক্রিয়াটি নিচে ধাপে ধাপে দেওয়া হলো

উৎপাদক সংখ্যা নির্ণয়ের ধাপসমূহ

• ধাপ ১: প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। ৫৯৮০০-এর ক্ষেত্রে আমরা পাই: ৫৯৮০০ = ২×২×২×২×৩×৫×৫×৭×৭।
• ধাপ ২: এবার মৌলিক সংখ্যাগুলোকে ভিত্তি ধরে সূচক আকারে সাজাতে হবে। অর্থাৎ, ৫৯৮০০ = ২⁴×৩¹×৫²×৭²।
• ধাপ ৩: প্রতিটি সূচকের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত মানগুলো পরস্পর গুণ করতে হবে। এখানে সূচকগুলো হলো ৪, ১, ২ এবং ২। এদের সাথে ১ যোগ করলে পাই ৫, ২, ৩ এবং ৩। এখন গুণফল হবে: (৪+১)×(১+১)×(২+১)×(২+১) = ৯০।

অর্থাৎ, ৫৯৮০০ সংখ্যাটির মোট ৯০টি ধনাত্মক উৎপাদক রয়েছে। সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী, যদি কোনো সংখ্যাকে A=pˣqʸrᶻ আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে তার মোট উৎপাদক সংখ্যা হবে (x+1)(y+1)(z+1)টি।

এই সূত্রের গাণিতিক ভিত্তি বুঝতে হলে আমাদের কম্বিনেটরিক্সের সাহায্য নিতে হয়। বিষয়টিকে সহজভাবে বোঝার জন্য ফলমূলের উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে। ধরো, তোমার কাছে ৪টি আপেল, ১টি আঙুর, ২টি কমলা ও ২টি আম আছে। তুমি এখান থেকে কতভাবে ফল নিতে পারবে? আপেলের ক্ষেত্রে ৫টি বিকল্প (০ থেকে ৪টি), আঙুরের ক্ষেত্রে ২টি, কমলার ক্ষেত্রে ৩টি এবং আমের ক্ষেত্রে ৩টি বিকল্প রয়েছে। এই বিকল্পগুলোর গুণফলই (৫×২×৩×৩=৯০) আমাদের মোট উৎপাদক সংখ্যা নির্দেশ করে।

প্রতিটি বাছাইয়ের ধরনই এক-একটি উৎপাদক। যেমন, তুমি যদি ২টি ২, কোনো ৩, কোনো ৫ এবং ১টি ৭ নাও, তবে ২×২×৭ = ২৮ হয়, যা ৫৯৮০০-এর একটি উৎপাদক। এভাবে মোট ৯০টি উপায়ে সংখ্যাটি থেকে উৎপাদক তৈরি করা সম্ভব।

এবার তোমাদের জন্য একটি প্রশ্ন রইল—চিন্তা করে দেখো তো, কোন ধরনের সংখ্যার উৎপাদক সংখ্যা বিজোড় হয়? গণিত ইশকুলের পরবর্তী পর্বে আমরা এর উত্তর নিয়ে আলোচনা করব। ততক্ষণ পর্যন্ত তোমাদের সবার জীবনের গ্রাফের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হোক! প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ছোট একটা সংখ্যার সব উৎপাদক নির্ণয় করতেও কমবেশি প্রায় সবাই আমরা হিমশিম খেয়েছি। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: অঙ্ক করতে গিয়ে এসব দুশ্চিন্তা ছিল আমাদের জন্য খুবই সাধারণ একটা ব্যাপার। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আমরা 58800 সংখ্যাটিকে উদাহরণ হিসেবে নিই। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: সহজ ভাষায় বললে, সূত্রটা হলো, কোনো সংখ্যাকে যদি এইভাবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ভিত্তিসংখ্যাগুলো সব কটি মৌলিক, কোনো ভিত্তিসংখ্যা একাধিকবার নেই এবং সব সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে ওই সূচকগুলোর প্রতিটির সঙ্গে 1 যোগ করে প্রাপ্ত যোগফলগুলো গুণ করলে ওই সংখ্যার মোট। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: উপরোক্ত নিয়ম মেনে A=pˣqʸrᶻ রূপে প্রকাশ করা হলে, A–এর উৎপাদকসংখ্যা (x+1)(y+1)(z+1)টি।

সূত্র: প্রথম আলো